Question

20．如圖，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑⊙C．G是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P是AG中點(diǎn)，則DP的最大值為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{41}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DP=$\frac{1}{2}$BG，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短就可解決問(wèn)題．

解答 解：連接BG，如圖．
∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=3．
又∵CD=4，
∴BC=5．
∵E是高線CD的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴CG=CE=2．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．
當(dāng)B、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取最大值為7．
∵P是AG中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，
∴PD=$\frac{1}{2}$BG，
∴DP最大值為$\frac{7}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化為BG是解決本題的關(guān)鍵．