Question

5．四邊形ABCD為矩形，H、F為AD、BC中點(diǎn)，BH、AF、DF、CH是∠B、∠A、∠D、∠C的角平分線，證明EFGH為矩形．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)和已知條件證出四邊形AFCH、四邊形BFDH是平行四邊形，得出AF∥HC，BH∥FD，證出四邊形EFGH是平行四邊形，再由角平分線證出∠HEF=∠AEB=90°，即可得出四邊形EFGH為矩形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AD∥BC，
∵H、F為AD、BC中點(diǎn)，
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=DH=BF=CF，
∴四邊形AFCH、四邊形BFDH是平行四邊形，
∴AF∥HC，BH∥FD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵BH、AF是∠ABC、∠BAD的角平分線，
∴∠ABH=45°，∠BAF=45°，
∴∠HEF=∠AEB=90°，
∴四邊形EFGH為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．