Question

5．如圖，以原點O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點（點B在點A的右邊），P是半徑OB上一點，過P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點（點C在點D的上方），直線AC，DB交于點E．若AC：CE=1：2．
（1）求點P的坐標；
（2）求過點A和點E，且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設C（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3-m．首先證明△ACP∽△ECH，推出$\frac{AC}{CE}$=$\frac{PC}{CH}$=$\frac{AP}{HE}$=$\frac{1}{2}$，推出CH=2n，EH=2m+6，再證明△DPB∽△DHE，推出$\frac{PB}{EH}$=$\frac{DP}{DH}$=$\frac{n}{4n}$=$\frac{1}{4}$，可得$\frac{3-m}{2m+6}$=$\frac{1}{4}$，求出m即可解決問題；
（2）由題意設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-5），求出E點坐標代入即可解決問題；

解答 解：（1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設C（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3-m．

∵EH∥AP，
∴△ACP∽△ECH，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{PC}{CH}$=$\frac{AP}{HE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CH=2n，EH=2m+6，
∵CD⊥AB，
∴PC=PD=n，
∵PB∥HE，
∴△DPB∽△DHE，
∴$\frac{PB}{EH}$=$\frac{DP}{DH}$=$\frac{n}{4n}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{3-m}{2m+6}$=$\frac{1}{4}$，
∴m=1，
∴P（1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
連接OC，在Rt△OCP中，PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CH=2PC=4$\sqrt{2}$，PH=6$\sqrt{2}$，
∴E（9，6$\sqrt{2}$），
∵拋物線的對稱軸為CD，
∴（-3，0）和（5，0）在拋物線上，設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-5），把E（9，6$\sqrt{2}$）代入得到a=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（x+3）（x-5），即y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\frac{15\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查圓綜合題、平行線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．