Question

16．如圖1，已知△ABC與△CDE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC，且∠ACB=∠DCE，連接AE、BD．
（1）求證：△BCD≌△ACE；
（2）如圖2，若DC⊥EC，試判斷直線AE與直線BD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）證出∠BCD=∠ACE，由SAS證明△BCD≌△ACE即可；
（2）延長BD交AE于M，交AC于N，由全等三角形的性質(zhì)得出∠CBD=∠CAE，由直角三角形的性質(zhì)和對頂角相等證出∠CAE+∠ANM=90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠AMN=90°即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：直線AE⊥直線BD；理由如下：
延長BD交AE于M，交AC于N，如圖所示：
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵DC⊥EC，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BNC=90°，
∵∠BNC=∠ANM，
∴∠CAE+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°，
∴AE⊥BD．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．