Question

12．如圖，點A是y軸上的點，線段AB∥x軸，M是OA的中點，連接BM并延長交x軸與點C，二次函數(shù)y=ax²-2ax+4的圖象經(jīng)過A，B，C的三點，與x軸的另一交點為D．
（1）點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（2，4）；
（2）求二次函數(shù)的表達式；
（3）在線段CD上有動點P（不與C，D重合），過P作PE⊥x軸交直線BC于E，以PE為邊在PE的右側作正方形PEFG，當點F在拋物線上時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）對于拋物線y=ax²-2ax+4，令x=0得y=4，可得A（0，4），由題意A、B關于對稱軸對稱，由此可以求出B坐標．
（2）由△ABM≌△OCM，得到C（-2，0），把C（-2，0）代入拋物線的解析式即可求出a，解決問題．
（3）如圖2中，設P（m，0）．根據(jù)條件可推出F（2m+2，m+2），把F坐標代入拋物線解析式求出m，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

對于拋物線y=ax²-2ax+4，令x=0得y=4，∴A（0，4），
對稱軸x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB∥x軸，
∴A、B關于對稱軸對稱，
∴B（2，4），AB=2，
故答案為（0，4），（2，4）．

（2）∵AB∥OC，
∴∠ABM=∠OCM，
在△ABM和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠OCM}\\{∠AMB=∠OMC}\\{AM=OM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△OCM，
∴OC=AB=2，
∴C（-2，0），
把C（-2，0）代入y=ax²-2ax+4得
4a+4a+4=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（3）如圖2中，設P（m，0）．

∵C（-2，0），B（2，4），
∴直線BC的解析式為y=x+2，
∴E（m，m+2），
∵四邊形EFGP是正方形，
∴PE=EF=PG=FG=m+2，
∴F（2m+2，m+2），
∵點F在拋物線上，
∴m+2=-$\frac{1}{2}$（2m+2）²+2m+2+4，
整理得到2m²+3m-2=0，
解得m=$\frac{1}{2}$或-2（舍棄），
∴點P坐標（$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質、正方形的性質等知識，解題的關鍵是靈活應用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．