Question

2．已知x₁，x₂ 是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩實(shí)數(shù)根．
（1）若（x₁-1）（x₂ -1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 1）根據(jù)判別式的意義可得m≥2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，接著利用（x₁-1）（x₂ -1）=28得到m²+5-2（m+1）+1=28，解得m₁=6，m₂=-4，于是可得m的值為6；
（2）分類討論：若x₁=7時(shí)，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m²+5=0，解得m₁=10，m₂=4，當(dāng)m=10時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2（m+1）=22，解得x₂=15，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m=10舍去；當(dāng)m=4時(shí)，x₁+x₂=2（m+1）=10，解得x₂=3，則三角形周長(zhǎng)為3+7+7=17；若x₁=x₂，則m=2，方程化為x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，m=2舍去．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，解得m≥2，
x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
∵（x₁-1）（x₂ -1）=28，即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，
∴m²+5-2（m+1）+1=28，
整理得m²-2m-24=0，解得m₁=6，m₂=-4，
而m≥2，
∴m的值為6；
（2）∵x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，而等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為7，
∴x=7必是一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的一個(gè)解，
把x=7代入方程得49-14（m+1）+m²+5=0，
整理得m²-14m+40=0，解得m₁=10，m₂=4，
當(dāng)m=10時(shí)，x₁+x₂=2（m+1）=22，解得x₂=15，而7+7＜15，故舍去；
當(dāng)m=4時(shí)，x₁+x₂=2（m+1）=10，解得x₂=3，則三角形周長(zhǎng)為3+7+7=17；
若x₁=x₂，則m=2，方程化為x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，則3+3＜7，故舍去，
所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式和等腰三角形的性質(zhì)．