Question

14．已知，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=18cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．
①已知點(diǎn)P的速度為每秒10cm，點(diǎn)Q的速度為每秒6cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為x、y（單位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AOE≌△COF，即可證明OF=OE，則可以證明四邊形AECF是菱形，設(shè)邊長(zhǎng)是x，在直角△ABF中利用勾股定理即可列方程求解；
（2）①當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上以及P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)PC=AQ即可求得；
②以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分成當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)以及當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)三種情況進(jìn)行討論即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{OA=OC}\\{∠AEF=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四邊形AFCE為平行四邊形．
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形；
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（18-x）cm
在Rt△ABF中，6²+（18-x）²=x²
解得x=10．
∴AF=10cm；
（2）解：①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形．
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒10cm，點(diǎn)Q的速度為每秒6cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=10t，QA=24-6t，
∴10t=24-6t，解得$t=\frac{3}{2}$．
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，$t=\frac{3}{2}$秒．

②由題意得，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上．
分三種情況：
i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，x=24-y，即y=24-x；
ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，24-y=x，即y=24-x；

iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，24-x=y，即y=24-x．

綜上所述，x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式是y=24-x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確理解以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的條件是解決本題的關(guān)鍵．