Question

7．閱讀理解
如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分；…將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點(diǎn)B_n與點(diǎn)C重合．無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角．

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC是平分線AB₁折疊，則等腰三角形的兩個(gè)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合（因?yàn)榈妊�三角形的兩個(gè)底角是相等的）；情形二：如圖3，沿△ABC的∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下的部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時(shí)點(diǎn)B₁與點(diǎn)C重合．
探究發(fā)現(xiàn)
（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）
（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系，寫出探究過程．
根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系是∠B=n∠C．．

Answer 1

分析 （1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知∠B=2∠C，即可得出答案；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C，利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C．

解答 解：（1）∠BAC是△ABC的好角，
理由如下：如圖1，

∵沿∠BAC的平分線AB₁折疊，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時(shí)點(diǎn)B₁與點(diǎn)C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C，
即∠BAC是△ABC的好角，
故答案為：是；

（2）∠B=3∠C，
理由是：如圖2，

在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點(diǎn)B₂與點(diǎn)C重合，
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁ B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁ B₁C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
所以若經(jīng)過n次折疊發(fā)現(xiàn)△ABC是“可折疊三角形”，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．
故答案為：∠B=n∠C．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換（折疊問題），解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)，難度較大．