Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC與BC相交于O，E為AB的中點，F(xiàn)為DE的中點，G為CF的中點，OH⊥DE于H，過A作AI⊥DE于I，交BD于J，交BC于K，連接BI，下列結(jié)論：①G到AC的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{8}$；②OH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；③BK=$\frac{1}{2}$AK；④∠BIJ=45°．其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 如圖，延長CF交BA的延長線于M，作BN⊥DE于N，BT⊥AK于T作GR⊥AC于R，BD交OD于W，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識一一判斷即可．

解答 解：如圖，延長CF交BA的延長線于M，作BN⊥DE于N，BT⊥AK于T，作GR⊥AC于R，BD交OD于W．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，AB∥CD，
∵DF=EF
∴易證△DFC≌△EFM，
∴CD=EM=2，BM=3，CM=$\sqrt{B{C}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∵CD∥MB，
∴$\frac{CD}{BM}$=$\frac{CG}{GM}$=$\frac{2}{3}$，
∴CW=$\frac{2}{5}$CM=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$，∵OC=$\sqrt{2}$，
∴OW=$\sqrt{C{M}^{2}-C{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
由$\frac{CG}{CW}$=$\frac{GR}{OW}$，可得GR=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{5}}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，故①正確
∵AD=AB，∠DAE=∠ABK，∠ADE=∠BAK，
∴△ADE≌△BAK，
∴BK=AE，BK=$\frac{1}{2}$AB≠$\frac{1}{2}$AK，故③錯誤，
易證四邊形BNIT是正方形，
∴∠BIJ=45°，故④正確，
∵△AEI≌△BEB，
∴BN=AI=$\frac{AD•AE}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵OH∥BN，DO=OB，
∴DH=HN，
∴OH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故②正確，
∴①②④正確，
故選B．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找全等三角形，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．