Question

18．如圖，拋物線y=x²+2x與直線y=$\frac{1}{2}$x+1交于A、B兩點(diǎn)，與直線x=2交于點(diǎn)P，將拋物線沿著射線AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$個(gè)單位．
（1）平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）；
（2）在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路程為$\frac{61}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，拋物線沿著射線AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位，向上平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)拋物線向右平移a個(gè)單位，則向上平移$\frac{1}{2}$a個(gè)單位，拋物線的解析式為y=（x+1-a）²-1+$\frac{a}{2}$，令x=2，y=（3-a）²-1+$\frac{1}{2}$a，可得y=a²-$\frac{11}{2}$a+8，推出y=（a-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{7}{16}$，由0≤a≤3，推出y的最大值為8，最小值為$\frac{7}{16}$，又a=3時(shí)，y=$\frac{1}{2}$，根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的變化情形，即可解決問題．

解答 解：（1）由題意，拋物線沿著射線AB平移$\frac{3}{2}\sqrt{5}$個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位，向上平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位，
∵拋物線y=x²+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），
故答案為（2，$\frac{1}{2}$）．

（2）設(shè)拋物線向右平移a個(gè)單位，則向上平移$\frac{1}{2}$a個(gè)單位，
拋物線的解析式為y=（x+1-a）²-1+$\frac{a}{2}$，
令x=2，y=（3-a）²-1+$\frac{1}{2}$a，
∴y=a²-$\frac{11}{2}$a+8，
∴y=（a-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{7}{16}$，
∵0≤a≤3，
∴y的最大值為8，最小值為$\frac{7}{16}$，
∵a=3時(shí)，y=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P的經(jīng)過的路程為8-$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{16}$）=$\frac{61}{8}$，
故答案為$\frac{61}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．