Question

20．在等腰三角形中，過其中的一個(gè)頂點(diǎn)的直線如果能把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)小的等腰三角形，我們稱這種等腰三角形為“少見的三角形”，這條直線稱為分割線，下面我們來研究這類三角形．
（1）等腰直角三角形是不是“少見的三角形”？
（2）已知如圖所示的鈍角三角形是一個(gè)“少見的三角形”，請(qǐng)你畫出分割線的大致位置，并求出頂角的度數(shù)；
（3）銳角三角形中有沒有“少見的三角形”？如果沒有，請(qǐng)說明理由；如果有，請(qǐng)畫出圖形并求出頂角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算，可得等腰直角三角形是“少見的三角形”；
（2）畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答；
（3）有，畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答．

解答 解：（1）如圖1，

當(dāng)過頂角∠C的頂點(diǎn)的直線CD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，
設(shè)∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
∴△ABC是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形是“少見的三角形”；
（2）如圖2，

AC=CD=AB，BD=AD，
設(shè)∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠CAD=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，
x=36°，
則頂角∠BAC=108°．
（3）如圖3，

當(dāng)過底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設(shè)∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時(shí)候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．