Question

13．兩個(gè)反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$和y=$\frac{k}{x}$（k＞2）在第一象限的圖象如圖所示，第一象限中的點(diǎn)P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)，PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，PC、PD分別交y=$\frac{2}{x}$的圖象于點(diǎn)A，B．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，連接CD，AB，若BP=$\frac{2}{3}$DP，CD=$\sqrt{13}$，求AB的長(zhǎng)度；
（3）在（2）的條件下，若在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、點(diǎn)N，使四邊形MABN是平行四邊形，猜想∠AMC與∠NMO的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）直接代入點(diǎn)P坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（2）先表示A，B，C，D，P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BP，DP，CD，建立方程求出m，k即可求出AB的長(zhǎng)度；
（3）分m=2和m=3兩種情況討論計(jì)算：①m=2時(shí)，先確定出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AB解析式，進(jìn)而設(shè)出MN的解析式，用平行四邊形的性質(zhì)AB=MN建立方程，求出直線MN解析式，即可得出AC，CM，ON．OM，用銳角三角函數(shù)判斷出結(jié)論，②同①的方法即可．

解答 解：（1）∵P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），
∴k=3×4=12
（2）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴A（m，$\frac{2}{m}$），
∴C（m，0），P（m，$\frac{k}{m}$），
∴B（$\frac{2m}{k}$，$\frac{k}{m}$），D（0，$\frac{k}{m}$）
∴BP=m-$\frac{2m}{k}$，PD=m，CD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{k}{m}）^{2}}$
∵BP=$\frac{2}{3}$DP，
∴m-$\frac{2m}{k}$=$\frac{2}{3}$m，
∴k=6，
∴CD=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{6}{m}}）^{2}$，
∵CD=$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{6}{m}}）^{2}$=$\sqrt{13}$，
∴m=±2或m=±3，
∵第一象限中的點(diǎn)P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴m=2或m=3，
當(dāng)m=2時(shí)，A（2，1），B（$\frac{2}{3}$，3），
∴AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
當(dāng)m=3時(shí)，A（3，$\frac{2}{3}$），B（1，2），
∴AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
即：AB的長(zhǎng)度為$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（3）∠AMC=∠NMO
如圖，

理由：由（2）知，AB=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
①當(dāng)m=2時(shí)，A（2，1），B（$\frac{2}{3}$，3），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+4，
∵四邊形MABN是平行四邊形，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+b，
∴M（$\frac{2b}{3}$，0），N（0，b），
∴MN=$\sqrt{（\frac{2b}{3}）^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$|b|，
∴$\frac{\sqrt{13}}{3}$|b|=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴b=±2，
∵四邊形MABN是平行四邊形，
∴b=2，
MN解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+2，
∴M（$\frac{4}{3}$，0），N（0，2），
∴CM=$\frac{2}{3}$，AC=1，NO=2，OM=$\frac{4}{3}$，
∵C（2，0）
∴OC=2
∵tan∠AMC=$\frac{AC}{MC}$=$\frac{1}{2-\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$，tan∠NMO=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠AMC=tan∠NMO，
∵∠AMC，∠NMO是銳角，
∴∠AMC=∠NMO，
②當(dāng)m=3時(shí)，A（3，$\frac{2}{3}$），B（1，2），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∵四邊形MABN是平行四邊形，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+b'，
∴M（$\frac{3}{2}$b'，0），N（0，b'），
∴MN=$\sqrt{（\frac{3}{2}b'）^{2}+b{'}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$|b'|，
∴$\frac{\sqrt{13}}{2}$|b'|=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴b'=±$\frac{4}{3}$，
∵四邊形MABN是平行四邊形，
∴b'=$\frac{4}{3}$
MN解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴N（0，$\frac{4}{3}$），M（2，0），
∴AC=$\frac{2}{3}$，CM=1，OM=2，ON=$\frac{4}{3}$，
∵C（3，0），
∴OC=3
∵tan∠AMC=$\frac{AC}{MC}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1}$=$\frac{2}{3}$，tan∠NMO=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠AMC=tan∠NMO，
∵∠AMC，∠NMO是銳角，
∴∠AMC=∠NMO．
即：∠AMC=∠NMO．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題，是一道比較簡(jiǎn)單的中考常考題．