Question

3．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，AC是⊙O的直徑，若tan∠ACB=$\sqrt{5}$，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 由切線的性質(zhì)及圓周角定理可證明∠AOP=∠ACB，即可得OP∥CB、∠PCB=∠CPO、∠ACB=∠AOP，設(shè)OA=OC=r，由tan∠ACB=$\sqrt{5}$得AP=$\sqrt{5}$r、PC=3r，作OD⊥PC，證△OCD∽△PCA得$\frac{OC}{PC}=\frac{OD}{AP}=\frac{CD}{CA}$，即可知OD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$r、CD=$\frac{2}{3}$r、PD=$\frac{7}{3}$r，由正切定義可得答案．

解答 解：如圖，連接OB、OP、AB，

∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOP=∠ACB，
∴OP∥CB，
∴∠PCB=∠CPO，∠ACB=∠AOP，
設(shè)OA=OC=r，
∵tan∠ACB=tan∠AOP=$\frac{AP}{AO}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$r，PC=$\sqrt{A{P}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}r）^{2}+（2r）^{2}}$=3r，
作OD⊥PC于點(diǎn)D，
∵∠CDO=∠CAP=90°，∠OCD=∠PCA，
∴△OCD∽△PCA，
∴$\frac{OC}{PC}=\frac{OD}{AP}=\frac{CD}{CA}$，即$\frac{r}{3r}=\frac{OD}{\sqrt{5}r}=\frac{CD}{2r}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$r，CD=$\frac{2}{3}$r，
∴PD=PC-CD=3r-$\frac{2}{3}$r=$\frac{7}{3}$r，
則tan∠PCB=tan∠CPD=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}r}{\frac{7}{3}r}$=$\frac{\sqrt{5}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)，熟練掌握切線長定理、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．