Question

16．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，半徑為5的圓⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于D、E兩點(diǎn)．
（1）若直線AB交劣弧$\widehat{CD}$于P、Q兩點(diǎn)（異于C、D）
①當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）時，求b值；
②求∠CPE的度數(shù)，并用含b的代數(shù)式表示弦PQ的長（寫出b的取值范圍）；
（2）當(dāng)b=6時，線段AB上存在幾個點(diǎn)F，使∠CFE=45°？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①直接將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線y=-x+b中，即可求出b的值，
②先求出直線OM的解析式，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OM，再用勾股定理即可得出PM，即可得出PQ；
（2）先判斷出點(diǎn)F是劣弧$\widehat{CD}$上時，∠CFE=45°，進(jìn)而判斷b=6是線段AB與⊙O的交點(diǎn)的個數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)P（3，4）在直線AB上，
∴-3+b=4，
∴b=7，

②∵∠COE=90°，
∴∠CPE=$\frac{1}{2}$∠COE=45°，
如圖1，過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，連接OP，
∵直線AB的解析式為y=-x+b①，
∴直線OM的解析式為y=x②，
聯(lián)立①②解得點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$b），
∴OM²=$\frac{1}{2}$b²，
在Rt△POM中，OP=5，根據(jù)勾股定理得，PM=$\sqrt{O{P}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{50-^{2}}$，
∴PQ=2PM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{50-^{2}}$，
當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時，b=5
當(dāng)OM=5時，b=-5$\sqrt{2}$（舍）或b=5$\sqrt{2}$，
∴5≤b＜5$\sqrt{2}$，
即：PQ=$\sqrt{2}$•$\sqrt{50-^{2}}$（5≤b＜5$\sqrt{2}$）；

（2）當(dāng)b=6時，線段AB上存在2個點(diǎn)F，使∠CFE=45°，
理由：由（1）②知，點(diǎn)F在劣弧$\widehat{CD}$上時，∠CFE=45°，
由（1）②知，OM=5時，即：b=5$\sqrt{2}$時，直線AB與⊙O相切，
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時，b=5，
∴當(dāng)b=6時，在5到5$\sqrt{2}$之間，
∴線段AB與⊙Q有兩個交點(diǎn)，
即：當(dāng)b=6時，線段AB上存在2個點(diǎn)F，使∠CFE=45°．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定直線的解析式，勾股定理，直線和圓的位置關(guān)系，解（1）①的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求直線OM的解析式，解（1）②的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解（3）的關(guān)鍵是判斷b=6時，線段AB與圓O的交點(diǎn)個數(shù)．