Question

8．問(wèn)題情境：
在△ABC中，∠B=∠C=50°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=50°
（1）如圖1，射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖1中所有與△ADE相似的三角形．
操作探究：
（2）如圖2，將（1）中的∠MDN從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，射線DM、DN分別交線段AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，旋轉(zhuǎn)角小于50°），試說(shuō)明△BFD∽△CDE；
拓展應(yīng)用：
（3）小穎在解決上述問(wèn)題后發(fā)現(xiàn)圖2中的△DEF與△BDF相似．
①請(qǐng)你幫她證明這一結(jié)論；
②當(dāng)（2）中的旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，△DEF與△ABC相似？（直接回答即可）

Answer 1

分析 （1）如圖1，易求得∠BAD=∠DAC=∠EDC=40°，再結(jié)合∠B=∠C=∠ADE=50°，即可得到△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；
（2）如圖2，根據(jù)∠EDF=∠B及三角形外角性質(zhì)可得∠BFD=∠CDE，再根據(jù)∠B=∠C即可得到△BFD∽△CDE；
（3）①如圖2，由（2）得△BFD∽△CDE，則有$\frac{BF}{CD}$=$\frac{DF}{ED}$，由D是BC的中點(diǎn)可得$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF}{ED}$．再根據(jù)∠B=∠EDF即可得到△BDF∽△DEF；
②由∠B=∠C=50°可得∠BAC=80°，AB=AC，再由BD=CD可得AD⊥BC．若△DEF與△ABC相似，由△BDF∽△DEF可得△BDF與△ABC相似，從而得到∠BDF=∠BAC=80°，或∠BDF=∠C=50°，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：如圖1，

與△ADE相似的有△ABD、△ACD、△DCE．
提示：易求得∠BAD=∠DAC=∠EDC=40°，
又∵∠B=∠C=∠ADE=50°，
∴△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE；

（2）證明：如圖2，

∵∠FDC是△BFD的一個(gè)外角，
∴∠FDC=∠B+∠BFD．
∵∠FDC=∠FDE+∠EDC，∠EDF=∠B=50°，
∴∠BFD=∠CDE．
∵∠B=∠C=50°，
∴△BFD∽△CDE；

（3）①證明：如圖2，

由（2）得△BFD∽△CDE，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{DF}{ED}$．
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF}{ED}$．
又∵∠B=∠EDF=50°，
∴△BDF∽△DEF．
②10°或40°．
提示：解：連接AD，如圖3，

∵∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，AB=AC．
∵BD=CD，
∴AD⊥BC．
若△DEF與△ABC相似，
∵△BDF∽△DEF，
∴△BDF與△ABC相似，
∴∠BDF=∠BAC=80°，或∠BDF=∠C=50°，
∴∠ADF=90°-80°=10°，或∠ADF=90°-50°=40°，
∴當(dāng)（2）中的旋轉(zhuǎn)角為10°或40°時(shí)，△DEF與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，并考查了K型相似（若∠B=∠C=∠EDF，則△BDF∽△CED）及其推論（若△BDF∽△CED，BD=CD，則△BDF∽△CED∽△DEF），應(yīng)熟練掌握．