Question

16．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．
原題：如圖1，在?ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若$\frac{AF}{EF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（1）嘗試探究
在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是AB=3EH，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是CG=2EH，$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$
（2）類比延伸
如圖2，在原題的條件下，若$\frac{AF}{EF}$=m（m≠0），則$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．
（3）拓展遷移
如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F，若$\frac{AB}{CD}$=a，$\frac{BC}{BE}$=b（a＞0，b＞0），則$\frac{AF}{EF}$的值是ab（用含a，b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，$\frac{AF}{EF}$=3是一個確定的數(shù)值．如答圖1，過E點作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；
（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，$\frac{AF}{EF}$=m不再是一個確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．
（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示

解答 解：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如圖1所示．

則有△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E為BC中點，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{3EH}{2EH}=\frac{3}{2}$．
故答案為：AB=3EH；CG=2EH；$\frac{3}{2}$．
（2）如圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．

∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m$．
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}$=2，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{mEH}{2EH}$=$\frac{m}{2}$．
故答案為：$\frac{m}{2}$．
（3）如圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴$\frac{CD}{EH}=\frac{BC}{BE}$=b，
∴CD=bEH．
又$\frac{AB}{CD}=a$，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=\frac{abEH}{EH}$=ab．
故答案為：ab．

點評 本題的設(shè)計獨具匠心：由平行四邊形中的一個特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．