Question

3．如圖，已知直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始在線(xiàn)段BA上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒1個(gè)單位的速度向O點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q、P移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？并求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線(xiàn)解析式，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)即可；
（2）由AO與BO的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)移動(dòng)時(shí)間為t，表示出AP與AQ，分兩種情況考慮：①由∠QAP=∠BAO，得到當(dāng)$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$時(shí)，△APQ∽△AOB；②由∠QAP=∠BAO，當(dāng)$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$時(shí)，△AQP∽△AOB，分別求出Q坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，得到y(tǒng)=8；由y=0，得到x=6，
則A（6，0），B（0，8）；
（2）由BO=8，AO=6，得到AB=10，
當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，AP=t，AQ=10-2t，
①如圖1所示，

∵∠QAP=∠BAO，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$時(shí)，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$（秒），
此時(shí)OP=6-$\frac{30}{11}$=$\frac{36}{11}$，且OP⊥OA，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{36}{11}$，
代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得：y=$\frac{40}{11}$，即Q（$\frac{36}{11}$，$\frac{40}{11}$）；
②如圖2所示，

∵∠QAP=∠BAO，
∴當(dāng)$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$時(shí)，△AQP∽△AOB，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$（秒），
此時(shí)PA=$\frac{50}{13}$，BQ=$\frac{100}{13}$，OP=$\frac{28}{13}$，即P（$\frac{28}{13}$，0），
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則有$\frac{x}{OA}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{\frac{100}{13}}{10}$，
解得：x=$\frac{60}{13}$，
把x=$\frac{60}{13}$代入得：y=$\frac{24}{13}$，此時(shí)Q（$\frac{60}{13}$，$\frac{24}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．