Question

15．頂角為36°的等腰三角形被叫做“黃金三角形”，如圖所示，△ABC為頂角為36°等腰三角形．BD為∠ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E  
（1）圖中共有等腰三角形5個(gè)；
（2）等腰三角形ABC中，腰AB與底邊BC的比值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)可求出圖中所有角的度數(shù)，運(yùn)用等角對(duì)等邊判定三角形的形狀即可；
（2））設(shè)BC=x，則BD=AD=x，CD=AB-x，根據(jù)（1）得出△ABC∽△BCD，再根據(jù)相似的性質(zhì)得出AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$x，從而得出答案．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）÷2=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠DBC=∠BDE=36°，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，
∴∠A=∠ABD，
∠BDE=∠ABD=72°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AD=BD，BE=ED，AE=AD，
∴△ABD、△BDE、△AED是等腰三角形；
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴圖中等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD，共5個(gè)；

（2）設(shè)BC=x，則BD=AD=x，CD=AB-x，
∵△ABC∽△BCD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{AB}{x}$=$\frac{x}{AB-x}$，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$x或AB=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$x（舍去），
∴等腰三角形ABC中，腰AB與底邊BC的比值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
故答案為：5，$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；

點(diǎn)評(píng) 此題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．