Question

5．如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B=30°，∠C=50°．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）試寫出∠DAE與∠C、∠B之間的數(shù)量關系（不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）由AD是BC邊上的高可得出∠ADE=90°，在△ABC中利用三角形內角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，由角平分線的定義可求出∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質可求出∠AED的度數(shù)，在△ADE中利用三角形內角和定理可求出∠DAE的度數(shù)；
（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），理由同（1）．

解答 解：（1）∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADE=90°．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°．
∵AE是∠BAC平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=30°+50°=80°．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-90°-80°=10°．
（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），理由如下：
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADE=90°．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AE是∠BAC平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∴∠AED=∠B+∠BAE=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-90°-[90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）]=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題考查了三角形內角和定理以及三角形外角的性質，解題的關鍵是：（1）利用三角形外角的性質求出∠AED的度數(shù)；（2）重復（1）找出∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．