Question

14．如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線交CD于點(diǎn)E，連接AE，EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，求證：AE=EF．

Answer 1

分析 由CD平分∠ABC，得到∠ABE=∠CBE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，∠C=∠D=90°，AD=BC，由已知條件證得∠ADE=∠FEC，于是得到△ADE≌△ECF，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵CD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C=∠D=90°，AD=BC，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，
∴CE=AD，∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠DAE=∠AED+∠FEC=90°，
∴∠ADE=∠FEC，
在△ADE與△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{AD=CE}\\{∠DAE=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ECF，
∴AE=EF．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．