Question

15．在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，求證：CA平分∠BCD．

Answer 1

分析 過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，則四邊形AECF是矩形，求出∠FAD=∠BAE，根據AAS證△AEB≌△AFD，得出AE=AF，證出四邊形AECF是正方形，即可得出結論．

解答 證明：過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如圖所示：
則∠AEB=∠AEC=∠AFD=90°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四邊形AECF是矩形，
∴∠FAE=90°=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAE=90°-∠EAD，
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAD}\\{∠AEB=∠F}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴四邊形AECF是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴AC平分∠BCD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質，熟練掌握正方形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．