Question

4．一棵大樹樹干AB（假定樹干AB垂直于地面）被刮傾斜15°后折斷在地上，樹的項部恰好接觸到地面D（如圖所示），量得樹干的傾斜角為∠BAC=15°，大樹被折斷部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=3.6米，求這棵大樹AB原來的高度是多少米？（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 過點A作AE⊥CD于點E，由∠BAC=15°可求出∠DAC的度數(shù)，在Rt△AED中由∠ADE=60°，AD=4可求出DE及AE的長度，在Rt△AEC中由直角三角形的性質(zhì)可得出AE=CE，故可得出CE的長度，再利用銳角三角函數(shù)的定義可得出AC的長，進而可得出結(jié)論．

解答 解：過點A作AE⊥CD于點E，
∵∠BAC=15°，
∴∠DAC=90°-15°=75°，
∵∠ADC=60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴DE=1.8米，
∵sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{5}\sqrt{3}$
∴∠EAD=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE=∠CAD-∠DAE=75°-30°=45°，
∴∠C=90°-∠CAE=90°-45°=45°，
∴AE=CE=$\frac{9}{5}\sqrt{3}$，
∴sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\frac{9}{5}\sqrt{6}$，
∴AB=AC+CD=$\frac{9}{5}\sqrt{6}$+$\frac{9}{5}\sqrt{3}$+$\frac{9}{5}$≈9.18米．
答：這棵大樹AB原來的高度是9.18米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．