Question

13．如圖，四邊形OABC的邊OA，OC分別在y軸、x軸的正半軸，已知：A（0，4），B（4，3），C（4，0）．
（1）直接寫出四邊形OABC的面積為14；
（2）點(diǎn)D在x軸上，且∠BAD=90°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，0）；
（3）點(diǎn)P在線段OC上，且∠APO=∠BPC，請畫出點(diǎn)P，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{16}{7}$，0）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A，B，C坐標(biāo)，確定出四邊形ABCO為梯形，求出面積即可；
（2）利用待定系數(shù)法確定出直線AB解析式，由AD與AB垂直求出直線AD斜率，進(jìn)而確定出直線AD解析式，令y=0求出x的值，確定出D坐標(biāo)即可；
（3）由已知角相等，加上一對直角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AOP與三角形BCP相似，由相似得比例，設(shè)OP=m，則有PC=4-m，代入比例式求出m的值，即可確定出P坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：四邊形ABCO為直角梯形，
∵A（0，4），B（4，3），C（4，0），
∴OA=4，OC=4，BC=3，
則S_梯形ABCO=$\frac{1}{2}$（BC+OA）•OC=$\frac{1}{2}$×（3+4）×4=14；
故答案為：14；
（2）如圖1所示：

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A（0，4）與B（4，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+4，
∵AD⊥AB，∴直線AD斜率為4，
∴直線AD解析式為y=4x+4，
令y=0，得到x=-1，即D（-1，0）；
故答案為：（-1，0）；
（3）如圖2所示：

∵∠APO=∠BPC，∠AOP=∠BCP=90°，
∴△AOP∽△BCP，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{OP}{CP}$，
設(shè)OP=m，則PC=OC-OP=4-m，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{m}{4-m}$，即3m=16-4m，
解得：m=$\frac{16}{7}$，
則P（$\frac{16}{7}$，0）．
故答案為：（$\frac{16}{7}$，0）

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．