Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+6的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A，B，與一次函數(shù)Y=kx的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)C．
（1）當(dāng)∠COB=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)∠COA=∠CAO時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過C作CD⊥OB于D，分別令x，y為0，即可解得B、A兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形相似得到方程，再解方程，即可解得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過D作DE⊥OA于E，得到CE∥OB，推出△ACE∽△ABO，得到比例式$\frac{CE}{OB}=\frac{AE}{AO}$，由于∠COA=∠CAO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=OE=$\frac{1}{2}$AO=6，解$\frac{6}{12}$=$\frac{CE}{6}$得到CE=3，于是得到C（6，3），把C（6，3）代入y=kx得，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1，過C作CD⊥OB于D，
根據(jù)題意，令x=0，解得y=6，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）；
令y=0，解得x=12，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0）；
∵一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+6的圖象與一次函數(shù)y=kx交于C，∠COB=45°，
∴OD=CD，
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△ABO，
∴$\frac{BD}{OB}=\frac{CD}{OA}$，
∴$\frac{6-CD}{6}=\frac{CD}{12}$，
∴CD=OD=4，
∴C（4，4）；

（2）如圖2，過D作DE⊥OA于E，
∴CE∥OB，
∴△ACE∽△ABO，
∴$\frac{CE}{OB}=\frac{AE}{AO}$，
∵∠COA=∠CAO，
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AO=6，
∴$\frac{6}{12}$=$\frac{CE}{6}$，
∴CE=3，
∴C（6，3），
把C（6，3）代入y=kx得，3=6k，
∴k=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線平行或相交問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．