Question

14．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x、y軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）分別求出該反比例函數(shù)和直線AB的解析式；
（2）求出交點(diǎn)D坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先得到BE=6，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算出CE=3，OA=2，然后利用待定系數(shù)法分別求出反比例函數(shù)和直線AB的解析式；
（2）先聯(lián)立反比例函數(shù)和直線AB的解析式，解方程組可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=6，B（4，0），
又∵CE⊥X軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=3，
∴C（-2，3），
設(shè)反比例的解析式為y=$\frac{m}{x}$，
∴m=-2×3=-6，
∴反比例的解析式為y=-$\frac{6}{x}$；
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，OB=4，
∴OA=2，
∴A（0，2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
將A（0，2），B（4，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=6，x₂=-2，
當(dāng)x=6時(shí)，y=-1；x=-2時(shí)，y=3．
∵C（-2，3），
∴D（6，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式以及三角函數(shù)的定義，正確利用三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是關(guān)鍵．