Question

20．如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是DA的中點(diǎn)，連接BE，與CF相交于P，求證：AP=AB．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M，先證△BCE≌△CDF，再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得Rt△MBP中AP=$\frac{1}{2}$BM，即AP=AB．

解答 證明：延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn)，
在△BCE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
在△CDF與△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=FA}\\{∠CDF=∠MAF}\\{∠CFD=∠MFA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AMF（AAS），
∴CD=AM，
∵CD=AB，
∴AB=AM，
∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線(xiàn)，
∴AP=$\frac{1}{2}$BM，
即AP=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)一半的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△AMF是解題的關(guān)鍵．