Question

15．如圖，在△ABC中，∠B的平分線與∠BAC的外角平分線相交于點(diǎn)E．
（1）若∠C=78°，求∠E的度數(shù)；
（2）若∠C=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠E的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠1=$\frac{1}{2}$∠FAC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ABC，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠1=∠2+∠E，∠FAC=∠ABC+∠C，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得：∠E=$\frac{1}{2}$∠C，結(jié)論可得．

解答 解：（1）∵AE平分∠CAF，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠FAC，∠1=∠2+∠E，
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}∠$ABC，
∵∠1=∠2+∠E，∠FAC=∠ABC+∠C，
∴$\frac{1}{2}$∠FAC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠E，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}×$78°，

（2）由（1）證得：∠E=$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠C=α，
∴∠E=$\frac{1}{2}α$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的三角形的外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和，利用∠ACE是△ABC的外角和∠DCE是△BCD的外角的性質(zhì)便可求得∠A=2∠D．