Question

5．已知E是平行四邊形ABCD中DA邊延長線上的一點，且$\frac{EA}{AD}=\frac{1}{2}$，連結(jié)EC，分別交AB，BE于點F，G，若∠ADC=45°，ED=3$\sqrt{2}$，DC=6．
（1）求線段AD的長；
（2）求線段BF的長；
（3）求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2}{3}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD=6，推出△AEF∽△CDE，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{CD}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（3）過B作BH⊥DC于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCH=∠ADC=45°，解直角三角形得到CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\frac{EA}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2}{3}$，
∵ED=3$\sqrt{2}$，
∴AD=2$\sqrt{2}$；

（2）在平行四邊形ABCD中，
∵AB∥CD，AB=CD=6，
∴△AEF∽△CDE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴AF=2，
∴BF=4；

（3）過B作BH⊥DC于H，
∵AD∥BC，∠ADC=45°，
∴∠BCH=∠ADC=45°，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．