Question

14．如圖，在邊長為a的等邊三角形ABC中有一個由三個全等的葉形所組成的“三葉草”圖形，點O是△ABC的外心，則該“三葉草”圖形的面積是$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

Answer 1

分析 根據(jù)扇形面積公式和三角形的面積公式求出弓形BOC的面積，結(jié)合圖形計算即可．

解答 解：設(shè)弓形BOC所在圓的圓心為E，連接OE、BE、CE，
則∠BEC=120°，
∴∠BED=60°，
∴BE=$\frac{BD}{sin∠BED}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
則弓形BOC的面積=$\frac{120π×（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
=$\frac{π{a}^{2}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²，
∴該“三葉草”圖形的面積=3（$\frac{π{a}^{2}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²）-$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
故答案為：$\frac{π}{3}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心，掌握弓形面積的計算公式、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．