Question

3．（1）如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點p是線段AC上一點，過點P作OB的平行線分別交直線AB、BC于點M、N，若AP=3，OB=5，則PM=3，PN=7；
（2）如圖2，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AC上（不包括點A、O、C）的任意一點，過點P作OB的平行線交直線AB、BC于點M、N．
①請你猜想線段PM、PN和OB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如果點P是線段AC延長線上任意一點，其他條件都不變，那么線段PM、PN和OB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你在圖3中畫出圖形，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由正方形的性質(zhì)就可以得出AO=BO=CO=DO=5，∠AOB=∠BOC=90°．∠ACB=∠BAC=45°，由平行線的性質(zhì)就可以求出PM的值，由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出PN的值；
（2）如圖2，延長NP交AD于G，就可以得出四邊形GNBD是平行四邊形，就有NG=BD，再證明PM=PG就可以得出結(jié)論；
（3）作BG⊥MN于G，由菱形的性質(zhì)就可以得出BM=BN．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以得出MG=NG，從而得出四邊形BGPO為矩形，由矩形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，∠AOB=∠BOC=90°．∠ACB=∠BAC=45°．
∵PM∥OB，
∴△AMP∽△ABO，∠NPC=∠BOC=90°，
∴∠N=45°，
∴∠N=∠ACB，
∴PN=PC．
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{BO}$，
∵AP=3，OB=5，
∴AO=5，PO=2，
∴PC=7．
∴PN=7
∴$\frac{3}{5}=\frac{PM}{5}$，
∴PM=3．
故答案為：3，7；

（2）PM+PN=2OB．
理由：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAC=∠DAC，∠AOB=∠AOD=90°，BD=2BO．
∵PM∥OB，
∴∠APM=∠APG=90°．
在△APM和△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\\{∠APM=∠APG}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△APG（ASA），
∴PM=PG．
∴PM+PN=PG+PN=NG．
∵PN∥BO，AD∥BC，
∴四邊形NBDG是平行四邊形，
∴NG=BD，
∴NG=2BO，
∴PM+PN=2BO；
（3）PM-PN=2BO．
理由：如圖3，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD，∠AOB=∠AOD=∠POB=90°，BD=2BO．
∵PM∥OB，
∴∠APM=∠APG=90°．∠CBD=∠BNP，∠ADB=∠M，
∴∠BNP=∠M，
∴BM=BN．
作BG⊥MN于G，
∴∠BGP=90°，MG=NG．
∴∠POB=∠APG=∠BGP=90°，
∴四邊形BGPO是矩形，
∴GP=BO．
∵GP=GN-PN，
∴OB+GP=MG-PN+GP，
∴0B+OB=MP-PN，
∴MP-PN=2OB．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定與性質(zhì)的運用，矩形的判定與性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，解答時運用平行四邊形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．