Question

20．二次函數(shù)y=ax²-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-3）．
（1）a=1，c=-3；
（2）如圖1，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，求$\sqrt{2}$PD+PC的最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，若S_△MBC=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組即可即可；
（2）如圖1中，作PH⊥BC于H．由$\sqrt{2}$DP+PC=$\sqrt{2}$（PD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC）=$\sqrt{2}$（PD+PH），根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)$\sqrt{2}$DP+PC最小，最小值為$\sqrt{2}$DH′；
（3）如圖2中，取點(diǎn)E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG=$\sqrt{2}$．由S_△EBC=$\frac{1}{2}$•BC•EG=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=3，推出過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于M₁，M₂，則${S}_{△BC{M}_{1}}$=3，${S}_{△BC{M}_{2}}$=3，求出直線M₁M₂的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題，同法求出M₃，M₄的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把C（3，0），B（0，-3）代入y=ax²-2x+c
得到，$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9a-6+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故答案為1，-3．

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠PCH=45°，
在Rt△PCH中，PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC．
∵$\sqrt{2}$DP+PC=$\sqrt{2}$（PD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC）=$\sqrt{2}$（PD+PH），
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)$\sqrt{2}$DP+PC最小，最小值為$\sqrt{2}$DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD=4，∠DBH′=45°，
∴DH′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$DP+PC的最小值為$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=4．

（3）如圖2中，取點(diǎn)E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG=$\sqrt{2}$．

∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$•BC•EG=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=3，
∴過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于M₁，M₂，則${S}_{△BC{M}_{1}}$=3，${S}_{△BC{M}_{2}}$=3，
∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴直線M₁M₂的解析式為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
根據(jù)對(duì)稱性可知，直線M₁M₂關(guān)于直線BC的對(duì)稱的直線與拋物線的交點(diǎn)M₃、M₄也滿足條件，
易知直線M₃M₄的解析式為y=x-5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M₃（1．-4），M₄（2，-3），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為∴M₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），M₃（1．-4），M₄（2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、垂線段最短、平行線的性質(zhì)、軸對(duì)稱、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．