Question

8．如圖，AD是∠BAC平分線，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，AD與CE交于點(diǎn)G，與EF交于點(diǎn)H．
（1）證明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE=40°，求∠EHD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明AD垂直平分CE；
（2）由（1）可知點(diǎn)D為CE垂直平分線上的點(diǎn)，則CD=DE，∠DCE=∠DEC．由EF∥BC，可得∠DCE=∠CEF=∠DEC，則EG平分∠DEF．再證明∠EDH=∠EHD，然后由∠BCE=40°，得出∠DEH=2∠BCE=80°，進(jìn)而求出∠EHD=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°．

解答 （1）證明：∵AE=AC，AD是∠BAC平分線，
∴AD垂直平分CE；

（2）解：由（1）可知點(diǎn)D為CE垂直平分線上的點(diǎn)，
∴CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE=∠CEF=∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED=EH，
∴∠EDH=∠EHD，
∵∠BCE=40°，
∴∠DEH=2∠BCE=80°，
∴∠EHD=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．