Question

16．如圖，△ABC的內(nèi)切圓在AB、AC邊上的切點分別為F、E，∠C的平分線交直線EF于G，求證：BG⊥CG．

Answer 1

分析 如圖，設AB與CG交于點K，內(nèi)切圓的圓心為O，連接OA、OF、OB，想辦法證明∠4=∠5，推出△GKF∽△BKO，推出$\frac{GK}{BK}$=$\frac{FK}{KO}$，即$\frac{GK}{FK}$=$\frac{BK}{KO}$，又∠BKG=∠OKF，推出△BKG∽△OKF，即可解決問題．

解答 證明：如圖，設AB與CG交于點K，內(nèi)切圓的圓心為O，連接OA、OF、OB．

∵O是內(nèi)心，
∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∵E、F是切點，
∴∠AFO=∠OFK=90°，AO⊥EF，
∴∠3+∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠1+∠2，
∵∠3+∠AFE=90°，∠3+∠AOF=90°，
∴∠4=∠AFE=∠AOF=∠1+∠2，
∵∠5=∠1+∠2，
∴∠4=∠5，
∵∠GKF=∠BKO，
∴△GKF∽△BKO，
∴$\frac{GK}{BK}$=$\frac{FK}{KO}$，
∴$\frac{GK}{FK}$=$\frac{BK}{KO}$，
∵∠BKG=∠OKF，
∴△BKG∽△OKF，
∴∠BGK=∠KFO=90°，
∴CG⊥BG．

點評 本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線長定理、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用所學知識，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．