Question

9．閱讀下文，尋找規(guī)律：
已知x≠1，計算：（1+x）（1-x）=1-x²，
（1-x）（1+x+x²）=1-x³，
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
…
（1）觀察上式，猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
（2）根據(jù)你的猜想，計算：
①（1-2）（1+2+2²+…+2²⁰¹⁴）
②2+2²+2³+…+2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①利用（1）的規(guī)律得出答案即可；
②由得出規(guī)律的積除以因式即可．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
故答案為：1-xⁿ⁺¹；

（2）①（1-2）（1+2+2²+…+2²⁰¹⁴）
=1-2²⁰¹⁴；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=（1-2ⁿ⁺¹）÷（1-2）-1=2ⁿ⁺¹-2．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵在于根據(jù)各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右兩邊的最大指數(shù)相同且左邊是右邊的因式分解得規(guī)律．