Question

19．如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．
（1）求證：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（精確到0.01）

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系進行證明即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)進行計算即可．

解答 證明：（1）連接OD，如圖，

∵CD與半圓O相切于點D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{2}{sin28°}≈4.260$，
∴⊙O的半徑為$\frac{AB}{2}=2.13$．

點評 此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系進行分析．