Question

12．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，AF與CE的延長線相交于點F，連接BF．
（1）四邊形AFBD一定是平行四邊形；（不需證明）
（2）將下列命題填寫完整，并使命題成立（圖中不再添加其它的點和線）：
①當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形AFBD是矩形形（不需證明）；
②當△ABC滿足條件AB=AC，∠BAC=90°時，四邊形AFBD是正方形；并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）四邊形AFBD為平行四邊形，理由為：由AF與CD平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由E為中點，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE與三角形CDE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AF=CD，再由BD=CD，等量代換得到AF=BD，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；
（2）①四邊形AFBD為矩形，理由為：由AB=AC，AD為中線，利用三線合一得到AD垂直于BC，進而得到∠ADB為直角，由一個角為直角的平行四邊形為矩形即可得證；
②添加條件為AB=AC，∠BAC=90°，由AB=AC，根據(jù)①得到四邊形AFBD為矩形，再由∠BAC為直角，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AD=BD，根據(jù)鄰邊相等的矩形為正方形即可得證．

解答 解：（1）四邊形AFBD為平行四邊形，理由為：
證明：∵E為AD的中點，D為BC中點，
∴AE=DE，BD=CD，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠FAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四邊形AFBD為平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；
（2）①當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，理由為：
∵AB=AC，D為BC中點，即AD為BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∵四邊形AFBD為平行四邊形，
∴四邊形AFBD為矩形；
故答案為：矩形；
②AB=AC，∠BAC=90°，理由為：
證明：∵E為FC的中點，
∴EF=EC，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠ECD，
∵∠AEF=∠CED，
∴△AFE≌△DEC，
∴AF=CD，
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形AFBD為矩形，
∵AB⊥AC，D為BC的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴四邊形AFBD為正方形．
故答案為：AB=AC，∠BAC=90°

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．