Question

6．已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，且AE+CF=EF．求∠EDF的度數(shù)．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADC=90°，于是可把△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DCG，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CG=AE，DE=DG，∠DCG=∠A=90°，∠EDG=90°，則可判斷點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上和EF=GF，接著證明△DEF≌△DGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠EDF=∠GDF，所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EDG=45°．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°
∴把△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得△DCG，如圖，
∴CG=AE，DE=DG，∠DCG=∠A=90°，∠EDG=90°，
∴點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，
而AE+CF=EF，
∴CG+CF=EF，即EF=GF，
在△DEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DF=DF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DGF，
∴∠EDF=∠GDF，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EDG=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．