Question

14．如圖，已知直線y=kx（k＞0）與雙曲線y=$\frac{8}{x}$交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，第一象限的雙曲線上有一點(diǎn)P（1，a），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q．
（1）直接寫(xiě)出k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）如果在直線y=kx上有一點(diǎn)M，且滿(mǎn)足△BPM的面積等于12，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線解析式可求得k的值，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由反比例函數(shù)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，可求得PQ的長(zhǎng)；
（3）可設(shè)M坐標(biāo)為（m，2m），分點(diǎn)M在線段BQ的延長(zhǎng)線上和線段QB的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別表示出△BPM的面積，可求得m的值，可求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A在雙曲線y=$\frac{8}{x}$交于，且A的縱坐標(biāo)為4，
∴A坐標(biāo)為（2，4），
代入直線y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-4）．
（2）∵點(diǎn)P（1，a）在雙曲線上，
∴代入$y=\frac{8}{x}$，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）．
∵PQ∥y軸，且點(diǎn)Q在直線AB上，
∴可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，b）．
代入y=2x，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）．
∴PQ=6．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
S_△BPQ=$\frac{1}{2}×6×3=9$．
①當(dāng)點(diǎn)M在BQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，S_△BPM=S_△BPQ+S_△MPQ，$12=9+\frac{1}{2}×6×（m-1）$，m=2．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）．   
②當(dāng)點(diǎn)M在QB的延長(zhǎng)線上時(shí)，S_△BPM=S_△MPQ-S_△BPQ，$12=\frac{1}{2}×6×（1-m）-9$，m=-6．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，-12）．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），（-6，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足每個(gè)函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．