Question

10．如圖，直線l₁：y=4x與直線l₂：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$相交于點(diǎn)A，l₂和x軸相交于點(diǎn)B，OC⊥l₂，垂足為C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從原點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC向C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），AM²=S（單位長(zhǎng)度²）．求：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，AM能否等于AB？若能，求出此時(shí)的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，AM不能等于AB，理由為：根據(jù)直線l₂解析式求出B與D坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式求出A坐標(biāo)，確定出OB與OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，利用面積公式求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)C在直線l₂上，設(shè)出C坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出x的值，確定出C坐標(biāo)，過C作CF⊥OB于點(diǎn)F，過P作PE⊥OB于點(diǎn)E，求出CF與OF的長(zhǎng)，設(shè)OP=t，由PE與CF平行，得出三角形POE與三角形COF相似，由相似得比例，表示出PE與OE的長(zhǎng)，得出P坐標(biāo)，進(jìn)而表示出M坐標(biāo)，由AM=AB，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于t的方程，求出t的值，檢驗(yàn)即可做出判斷．

解答 解：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，AM不能等于AB，理由為：
設(shè)l₂：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$于y軸交于點(diǎn)D，則D（0，$\frac{20}{3}$），與x軸交于點(diǎn)B（5，0），
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{4}$，5），
∴OD=$\frac{20}{3}$，OB=5，
∴根據(jù)勾股定理得：BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
由S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•OB=$\frac{1}{2}$BD•OC，得到OC=$\frac{OB•OD}{BD}$=$\frac{5×\frac{20}{3}}{\frac{25}{3}}$=4，
∵點(diǎn)C在y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$上，設(shè)C（x，-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$），
在Rt△COF中，根據(jù)勾股定理得：OC²=OF²+CF²，即x²+（-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$）²=4²，
解得：x=$\frac{16}{5}$，
∴C（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
過C作CF⊥OB于點(diǎn)F，過P作PE⊥OB于點(diǎn)E，則有CF=$\frac{12}{5}$，OF=$\frac{16}{5}$，
設(shè)OP=t，
∵PE∥CF，
∴△POE∽△COF，
∴$\frac{PE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{OP}{OC}$，即$\frac{PE}{\frac{12}{5}}$=$\frac{OE}{\frac{16}{5}}$=$\frac{t}{4}$，
解得：PE=$\frac{3}{5}$t，OE=$\frac{4}{5}$t，即P（$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
∴M（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
要使AM=AB，則有[$\frac{5}{4}$-（-$\frac{4}{5}$t）]²+（5-$\frac{3}{5}$t）²=（5-0）²+（5-$\frac{5}{4}$）²，
解得：t=2±$\frac{\sqrt{66}}{2}$均不合題意，
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，AM不能等于AB．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，三角形面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．