Question

8．如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內(nèi)切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S₁₀，則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π．

Answer 1

分析 （1）圖1，作輔助線構(gòu)建正方形OECF，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)切線長定理表示出AD和BD的長，利用AD+BD=5列方程求出半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊），運(yùn)用圓面積公式=πr²求出面積=π；
（2）圖2，先求斜邊上的高CD的長，再由勾股定理求出AD和BD，利用半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊）求兩個圓的半徑，從而求出兩圓的面積和=π；
（3）圖3，繼續(xù)求高DM和CM、BM，利用半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊）求三個圓的半徑，從而求出三個圓的面積和=π；
綜上所述：發(fā)現(xiàn)S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π．

解答 解：（1）圖1，過點(diǎn)O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四邊形OECF為矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF為正方形
設(shè)圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r
∴3-r+4-r=5，r=$\frac{3+4-5}{2}$=1
∴S₁=π×1²=π
（2）圖2，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×CD
∴CD=$\frac{12}{5}$
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，BD=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$
由（1）得：⊙O的半徑=$\frac{\frac{9}{5}+\frac{12}{5}-3}{2}$=$\frac{3}{5}$，⊙E的半徑=$\frac{\frac{12}{5}+\frac{16}{5}-4}{2}$=$\frac{4}{5}$
∴S₁+S₂=π×$（\frac{3}{5}）^{2}$+π×$（\frac{4}{5}）^{2}$=π
（3）圖3，由S_△CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{1}{2}$×4×MD
∴MD=$\frac{48}{25}$
由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-（\frac{48}{25}）^{2}}$=$\frac{36}{25}$，MB=4-$\frac{36}{25}$=$\frac{64}{25}$
由（1）得：⊙O的半徑=$\frac{3}{5}$，：⊙E的半徑=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{36}{25}-\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{12}{25}$，：⊙F的半徑=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{64}{25}-\frac{16}{5}}{2}$=$\frac{16}{25}$
∴S₁+S₂+S₃=π×$（\frac{3}{5}）^{2}$+π×$（\frac{12}{25}）^{2}$+π×$（\frac{16}{25}）^{2}$=π
∴圖4中的S₁+S₂+S₃+S₄=π
則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=π
故答案為：π．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓，這是一個圖形變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解；解決此題的思路為：①先找出計(jì)算直角三角形內(nèi)切圓半徑的規(guī)律：半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊）；②利用面積相等計(jì)算斜邊上的高；③運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長．