Question

1．如圖，P是正方形ABCD對角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分別為垂足．
（1）求證：四邊形FCEP為矩形；
（2）求證：四邊形FCEP的周長是定值：
（3）求證：AP=EF；
（4）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，EF的長也隨之變化，若正方形ABCD的邊長為2．求EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）證出四邊形FCEP有三個(gè)角為直角即可；
（2）證出△PDE是等腰直角三角形，得出PE=DE，再由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）利用正方形的關(guān)于對角線成軸對稱得出AP=CP，利用矩形的性質(zhì)得出EF=CP，即可得出結(jié)論；
（4）由EF=AP，得出EF的最小值即為AP的值，問題得解．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PED=∠PEC=∠PFC=90°，
∴四邊形FCEP為矩形；
（2）證明：∵四邊形FCEP為矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠PDE=45°，
∵∠PED=90°，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE=DE=CF，
∴四邊形FCEP的周長=2（PE+CE）=2（DE+CE）=2CD，
即四邊形FCEP的周長是定值；
（3）證明：如圖，連接PC，
∵四邊形PECF為矩形，
∴PC=EF，
又∵四邊形ABCD是正方形，P為BD上任意一點(diǎn)，
∴PA、PC關(guān)于BD對稱，
∴PA=PC，
∴AP=EF；
（4）解：由（3）可知AP=EF恒成立，則EF的最小值轉(zhuǎn)化為AP的最小值，
∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP取得最小值，AP=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
故EF的最小值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小值問題；熟練掌握正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．