Question

20．在平面直角坐標系xOy中，有如下定義：若直線l和圖形W相交于兩點，且這兩點的距離等于定值k，則稱直線l與圖形W成“k相關(guān)”，此時稱直線與圖形W的相關(guān)系數(shù)為k．
若圖形W是由A（-2，-1），B（2，-1），C（2，1），D（-2，1）順次連線而成的矩形：
（1）如圖1，直線y=x與圖形W相交于點M，N．直線y=x與圖形W成“k相關(guān)”則k值即為線段MN的長度，則k=2$\sqrt{2}$；
（2）若一條直線經(jīng)過點（0，1）且與W成“$\sqrt{5}$相關(guān)”，請在圖2中畫出一條滿足題意的直線，并求出它的解析式；
（3）若直線y=mx+b（m≠0）與直線y=$\sqrt{3}$x平行且與圖形W成“k相關(guān)”，當k≥2時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點A、B、C、D的坐標可得出直線AB、CD的解析式，進而可求出點M、N的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出k的值；
（2）借助于勾股定理可得出該直線與圖形W的另一交點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出該直線的解析式；
（3）由直線y=mx+b（m≠0）與直線y=$\sqrt{3}$x平行可得出m=$\sqrt{3}$，借助于勾股定理可得出符合題意的臨界直線分別經(jīng)過點（-1，1）、（1，-1），根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出b值，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（-2，-1），B（2，-1），C（2，1），D（-2，1），
∴直線CD的解析式為y=1，直線AB的解析式為y=-1．
∵直線y=x與圖形W相交于點M，N，
∴點M的坐標為（1，1），點N的坐標為（-1，-1），
∴MN=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．
（2）∵一條直線經(jīng)過點（0，1）且與W成“$\sqrt{5}$相關(guān)”，
∴該直線經(jīng)過點（-2，0）、（-1，-1）、（1、-1）或（2，0）（如圖2所示）．
設(shè)該直線的解析式為y=ax+1，
當該直線過點（-2，0）時，有0=-2a+1，解得：a=$\frac{1}{2}$，此時該直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1；
當該直線過點（-1，-1）時，有-1=-a+1，解得：a=2，此時該直線的解析式為y=2x+1；
當該直線過點（1，-1）時，有-1=a+1，解得：a=-2，此時該直線的解析式為y=-2x+1；
當該直線過點（2，0）時，有0=2a+1，解得：a=-$\frac{1}{2}$，此時該直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（3）∵直線y=mx+b（m≠0）與直線y=$\sqrt{3}$x平行，
∴m=$\sqrt{3}$．
∵k≥2，
∴符合題意的臨界直線分別經(jīng)過點（-1，1），（1，-1）（如圖3，借助勾股定理可求出EF=GH=2）．
當直線y=$\sqrt{3}$x+b過點（-1，1）時，有1=-$\sqrt{3}$+b，
解得：b=1+$\sqrt{3}$；
當直線y=$\sqrt{3}$x+b過點（1，-1）時，有-1=$\sqrt{3}$+b，
解得：b=-1-$\sqrt{3}$．
∴當k≥2時，b的取值范圍為-1-$\sqrt{3}$≤b≤1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩點間的距離公式、兩直線平行或相交、勾股定理以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點M、N的坐標；（2）找出該直線與圖形W的另一交點坐標；（3）找出符合題意的臨界直線分別經(jīng)過點（-1，1），（1，-1）．