Question

20．如圖，已知線段AB=10，點(diǎn)C是直線AB上方一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ACB=m°，
（1）如圖1，若∠ACB=30°，求動(dòng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
（2）如圖2，若∠ACB=45°，求△ABC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）線段AB所對(duì)的角是定角，作出相應(yīng)的外接圓，然后找到動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的軌跡即可解答本題；
（2）根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的外接圓，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可解答本題．

解答 解：（1）線段AB所對(duì)的角是定角，
∴動(dòng)點(diǎn)C在△ABC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，
作△ABC的外接圓，圓心為O，連接OA、OB，如右圖1所示，
∵AB=10，∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴⊙O的半徑是10，
∵動(dòng)點(diǎn)C構(gòu)成⊙O的一段優(yōu)弧ACB所對(duì)的圓心角度數(shù)為：360°-60°=300°，
∴優(yōu)弧ACB的長(zhǎng)度是：$\frac{300×π×10}{180}=\frac{50π}{3}$，
即動(dòng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是$\frac{50π}{3}$；
（2）∵△ABC的底AB是定值，
∴要使面積最大，只要高取最大值，
即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)位置時(shí)，此時(shí)高最大，
作△ABC的外接圓，如右圖2所示，作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
又∵AB=10，OA=OB，
∴OA=OB=5$\sqrt{2}$，OD=5，
∴△ABC的最大面積是：$\frac{1}{2}×（5+5\sqrt{2}）×10$=25+25$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡、三角形的外接圓、勾股定理、垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，畫(huà)出相應(yīng)的圖形．