Question

14．如圖，邊長為1的正三角形ABC放置在邊長為2的正方形內(nèi)部，頂點A在正方形的一個頂點上，邊AB在正方形的一邊上，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C落在正方形的邊上時，完成第1次無滑動滾動（如圖1）；再將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A落在正方形的邊上時，完成第2次無滑動滾動（如圖2），…，每次旋轉(zhuǎn)的角度都不大于120°，依次這樣操作下去，當(dāng)完成第2016次無滑動滾動時，點A經(jīng)過的路徑總長為560π．

Answer 1

分析 先求出第一次到第六次旋轉(zhuǎn)的路徑的長分別是多少，探究規(guī)律后即可解決問題．

解答 解：第一次旋轉(zhuǎn)的路徑長為$\frac{120π•1}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
第二次旋轉(zhuǎn)的路徑長為$\frac{30π•1}{180}$=$\frac{1}{6}$π，
第三次旋轉(zhuǎn)的路徑長為0，
第四次旋轉(zhuǎn)的路徑長為$\frac{1}{6}$π，
第五次旋轉(zhuǎn)的路徑長為$\frac{2}{3}$π，
第六次旋轉(zhuǎn)的路徑長為0，
…
由此發(fā)現(xiàn)每三次旋轉(zhuǎn)的路徑和為$\frac{2}{3}$π+$\frac{1}{6}$π=$\frac{5}{6}$π．
2016÷3=672，
∴完成第2016次無滑動滾動時，點A經(jīng)過的路徑總長為672×$\frac{5}{6}$π=560π．
故答案為560π

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究方法，學(xué)會利用規(guī)律解決問題，屬于中考�？碱}型．