Question

8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，∠1=∠2，使BE交于AD延長線于E，連接EC，過A作AF⊥EC于F交BC于G，下列結(jié)論：①∠AEB=∠ACB，②BE=CD，③S_△AGC=$\frac{AG•EF}{2}$，④∠2=2∠3，其中正確有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由∠1=∠2，利用角平分線的性質(zhì)可得∠2=∠CAE，可得A，B，C，E四點共圓，由圓周角定理可得結(jié)論；②證明△ABE≌△ADC，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；③由△ABE≌△ADC，易得AC=AE，由等腰三角形的性質(zhì)易得CF=EF，得△AGC的面積；④由△AEC為等腰三角形易得∠EAF=∠CAF，可得結(jié)論．

解答 解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠EAC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EAC，
∴A，B，C，E四點共圓，
∴∠AEB=∠ACB，
故此選項正確；
②在△ABE與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AEB}\\{∠CAD=∠DAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（AAS），
∴BE=DC，
故此選項正確；
③∵△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∵AF⊥EC，
∴EF=CF，
∵S_△AGE=$\frac{1}{2}•$AG•CF=$\frac{AG•EF}{2}$，
故此選項正確；
④∵△EAC為等腰三角形，
∴∠EAF=∠3=$\frac{1}{2}$∠EAC=$\frac{1}{2}$∠2，
∴∠2=2∠3，
故此選項正確；
∴正確的有4個選項，
故選D．

點評 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，綜合運用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．