Question

18．閱讀材料，解答問(wèn)題
數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地探討著利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．
小惠說(shuō)：如圖1，我用相同的兩塊含30° 角的直角三角板可以畫角的平分線．畫法如下：
（1）在∠AOB 的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON；
（2）把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩斜邊交于點(diǎn)P．
射線OP是∠AOB的平分線．
小旭說(shuō)：我只用刻度尺就可以畫角平分線．
請(qǐng)你也參與探討，解決以下問(wèn)題：
（1）小惠的做法正確嗎？若正確，請(qǐng)給出證明，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）請(qǐng)你和小旭一樣，只用刻度尺畫出圖2中∠QRS的平分線，并簡(jiǎn)述畫圖的過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）過(guò)O點(diǎn)作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出△OMC≌△OND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC=OD，∠COM=∠DON，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠CPO=∠DPO．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定定理SSS，用刻度尺作出即可．

解答 解：（1）小惠的做法正確．
理由如下：
如圖1，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴∠C=∠D=90°．
由題意，∠PMA=∠PNB=60°，
∴∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°．
∴∠OMC=∠OND．
在△OMC和△OND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠DNO}\\{∠C=∠D}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△OND（AAS），
∴OC=OD，∠COM=∠DON．
∵OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴點(diǎn)O在∠CPD的平分線上．
∴∠CPO=∠DPO．
∴∠COP=∠DOP．
∴∠MOP=∠NOP．
即射線OP是∠AOB的平分線．            
（2）如圖． 射線RX是∠QRS的平分線．    
簡(jiǎn)述畫圖過(guò)程：如圖2．
用刻度尺作RV=RW，RT=RU；
連接TW，UV交于點(diǎn)X；
射線RX即為所求∠QRS的平分線．         

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線定義和全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力，題目比較好，難度適中．