Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則AD=（　�。�

• A． 4
• B． 4$\sqrt{5}$-4
• C． -4$\sqrt{5}$+4
• D． 4$\sqrt{5}$-4或-4$\sqrt{5}$+4

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出圖中各角的度數(shù)，易得AD=BD=BC，再證明△ABC∽△BCD，根據(jù)相似的性質(zhì)得AC：BC=BC：CD，則AC：AD=AD：CD，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義計(jì)算．

解答 解：∵AB=AC=8，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×8=4（$\sqrt{5}-1$）=4$\sqrt{5}-4$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB．并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．