Question

14．定義{A，B，C}為函數(shù)y=ax²+bx+c的“特征數(shù)”．如：函數(shù)y=x²-2x-3的“特征數(shù)”是{1，-2，-3}，函數(shù)y=2x+4的“特征數(shù)”是{0，2，4}，函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0，-1，0}．
（1）將“特征數(shù)”是{0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2}的函數(shù)圖象向下平移4個單位，得到一個新函數(shù)，這個新函數(shù)的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2；
（2）在（1）中，平移前后的兩個函數(shù)分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=-2$\sqrt{3}$分別交于D、C兩點，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，并說明理由；
（3）若（2）中的四邊形與“特征數(shù)”是{1，-2b，b²+1}的函數(shù)圖象有交點，試求出實數(shù) b 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)“特征數(shù)”寫出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移后一次函數(shù)的變化情況寫出函數(shù)圖象向下平移4個單位的新函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)平移得到AD∥BC，根據(jù)x=-2$\sqrt{3}$得到AB∥CD，把x=-2$\sqrt{3}$代入一次函數(shù)得到CD=4，由勾股定理可得BC=4，根據(jù)菱形的判定即可求解．
（3）二次函數(shù)為：y=x²-2bx+b²+1，化為頂點式為：y=（x-b）²+1，可知二次函數(shù)的圖象不會經(jīng)過點B和點C．設(shè)二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分，分
當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A時；當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D時；求出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=x²-2x-3的“特征數(shù)”是{1，-2，-3}，函數(shù)y=2x+4的“特征數(shù)”是{0，2，4}，函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0，-1，0}，
∴“特征數(shù)”是{0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2}的函數(shù)解析式是：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
∵函數(shù)的圖象向下平移4個單位，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2；
（2）四邊形是菱形．
如圖：

根據(jù)題意得：直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2向下平移4個單位得到直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴AD∥BC，AB=4，
∵x=-2$\sqrt{3}$，
∴AB∥CD．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
又∵當(dāng)x=-2$\sqrt{3}$時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-2$\sqrt{3}$）+2=4，
即CD=4，
由勾股定理可得BC=4，
∴BC=CD=4，
∴四邊形ABCD為菱形．
（3）二次函數(shù)為：y=x²-2bx+b²+1，化為頂點式為：y=（x-b）²+1，
∴二次函數(shù)的圖象不會經(jīng)過點B和點C．
設(shè)二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分，
當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A時，
將A（0，2），代入二次函數(shù)，
解得b=-1（不合題意，舍去）或b=1，
當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D時，
將D（-2$\sqrt{3}$，4），代入二次函數(shù)，
解得b=-3$\sqrt{3}$或b=-$\sqrt{3}$（不合題意，舍去）．
所以實數(shù)b的取值范圍：-3$\sqrt{3}$≤b≤1．
故答案為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合“特征數(shù)”的定義考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強，能力要求高．