Question

3．如圖，正方形ABCD的面積為4，E，F(xiàn)分別是AB、CD上的點(diǎn)，AF與ED相交于點(diǎn)G，BF與EC相交于點(diǎn)H，求四邊形EHFG面積的最大值．

Answer 1

分析 連接EF，作GM⊥AD于M，HN⊥BC于N．設(shè)GM=x，HN=y，AE=a，DF=b．想辦法證明S_{四邊形GEHF}=2（x+y）=[$\frac{ab}{a+b}$+$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$]=2[$\frac{16（a+b）-4（{a}^{2}+^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]=4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-^{2}-（{a}^{2}+^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]≤4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-^{2}-2ab}{（a+b）（8-a-b）}$]=4$\frac{（a+b）（8-a-b）}{（a+b）（8-a-b）}$=4，由此即可解決問題．

解答 解：連接EF，作GM⊥AD于M，HN⊥BC于N．設(shè)GM=x，HN=y，AE=a，DF=b．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴S_△AED=S_△AEF，
∴S_△AGD=S_△AGF，
同理：S_△EFH=S_△BCH，
∵S_{四邊形GEHF}=S_△EFG+S_△EFH=S_△ADG+S_△BCH=$\frac{1}{2}$×4×（x+y）=2（x+y），
∵$\frac{x}{a}$+$\frac{x}$=$\frac{MD}{DA}$+$\frac{AM}{DA}$=1，
∴x=$\frac{ab}{a+b}$，
同理可得y=$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$，
∴S_{四邊形GEHF}=2（x+y）=[$\frac{ab}{a+b}$+$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$]
=2[$\frac{16（a+b）-4（{a}^{2}+^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]
=4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-^{2}-（{a}^{2}+^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]
≤4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-^{2}-2ab}{（a+b）（8-a-b）}$]=4$\frac{（a+b）（8-a-b）}{（a+b）（8-a-b）}$=4，
∴四邊形EGHF的面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等高模型、平行線分線段成比例定理、基本不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于競(jìng)賽題．