Question

2．如圖，ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AB、DC的延長(zhǎng)線交于E，AD、BC的延長(zhǎng)線交于F，EP、FQ切圓于P、Q兩點(diǎn)，求證：EP²+FQ²=EF²．

Answer 1

分析 作輔助圓，構(gòu)建四點(diǎn)共圓的四邊形，利用切割線定理列式：EP²=EC•ED，F(xiàn)Q²=FC•FB，得出結(jié)論．

解答 證明：作△BCE的外接圓，交EF于G，連接CG，
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠FDC=∠ABC，
∵B、C、G、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ABC=∠CGE，
∴∠FDC=∠ABC=∠CGE，
∴F、D、C、G四點(diǎn)共圓，
由切割線定理得：EP²=EC•ED，
FQ²=FC•FB，
EF²=（EG+GF）•EF=EG•EF+GF•EF=EC•ED+FC•FB，
∴EP²+FQ²=EF²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，本題運(yùn)用了圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）；反之也成立；在證明線段的平方和時(shí)，一方面考慮利用勾股定理來(lái)求，另一方面考慮利用切割線定理列式得出．